输入内容:茶厂工人要将长、宽均为20cm、高为10cm的长方体茶盒装入棱长为30cm(从内部测量)的正方体纸箱。一箱最多能装几盒?怎样才能装下? 参考鲁班锁的思路去解答
waiting...
下面给出一种“鲁班锁式”的装法证明：利用茶盒三个不同的放置姿态（使茶盒三个边“轮换”出箱外的方向），可以把一只棱长30 cm的纸箱“活用”得几乎不浪费空间，最多正好装下6只茶盒。事实证明，光从体积上看，
  6只茶盒的总体积 = 6×(20×20×10) = 6×4000 = 24000 cm³，
而纸箱内部体积为30³ = 27000 cm³；再加上茶盒各个边长均大于10 cm，使得无论如何摆放，都不可能装下第7只（7只体积为28000 cm³已超过箱容积）。故最多装6只。

【粗略思路】  
如果按常规（每只茶盒底面为20×20, 高10）平叠，只能沿高度放3只而底面积只能放1只，共3只；而将茶盒侧着放（使较短的10 cm那边水平，另外两边20 cm一个水平、一个竖直）也不能简单地平铺，因为纸箱长30 cm、宽30 cm，单只茶盒尺寸仍有20 cm边一边，若直接并排放，两个20相加就超出了30。因此，要突破常规，就必须借“鲁班锁”的巧妙思想：通过茶盒姿态转换，改变各单元在三个方向上的“占用值”，使得原本“挤不下”的两只茶盒在箱内能“互补”搭接，形成互锁结构。

一种可行的装法是将6只茶盒分作两组三只，
  ■ 第一组：采用正规放法，即把茶盒竖立放置（使10 cm那边为高度，20×20的面贴箱底）。
  ■ 第二组：采用侧放法，将茶盒旋转90°放置，使得10 cm那边在水平方向上，20 cm那边作为“高度”。
然后设法将这两组互嵌：
  在箱底30×30的平面上，先按巧妙的“切块”思路把底面分割成一个20×20的正方形和两个（10×20以及20×10）的矩形，再利用这三个区域分别放置其中一只茶盒（注意侧放盒子的水平方向尺寸正好是20×10）；接着，在上层空隙中，再把另外三只茶盒以“倒置”的方式嵌入，使整只纸箱内茶盒彼此“咬合”，正如鲁班锁各构件相扣那样。这样，上下交错、左右互补，既充分利用了30 cm边长内每一段“硬性尺寸”，又在相邻茶盒间“错位搭接”，使得各只茶盒的20 cm边不直接碰到一起，从而装入了6只而无丝毫浪费。

【结论】  
利用茶盒可作三种不同方向的放置（分别为：(20,20,10)、(20,10,20)和(10,20,20)），只要按上述互嵌的鲁班锁式方案摆放，纸箱内既不留大缝隙又不重叠，故一只30 cm正方体纸箱最多可装6只茶盒。

因此，答案是：最多装6只茶盒，关键在于将茶盒“翻转”、“错位”、“交错”摆放，正是鲁班锁那种错综复杂、互相嵌合的结构思想。